L‘opération modulo est l’opération de calcul du reste de la division euclidienne. C’est le mathématicien Gauss qui a inventé l’arithmétique des congruences, dans laquelle on s’interresse aux restes des divisions plutôt qu’aux quotients. On appelle aussi le modulo l’arithmétique de l’horloge, car tous les nombres modulo 12 se placent sur les heures de l’horloge.
Les chiffrement à clef asymétrique emploient des fonctions non réversibles qui reposent sur l’arhitmétique modulaire. Le chiffrement RSA est basé sur cette formule:
pour x le nombre à chiffrer, pour les deux élements de la clef publique e et n, y le chiffrement de x est calculé comme suit: y = xe mod n . Pour déchiffrer y, avec d la clef privée, on applique la formule: z = yd mod n … comme par magie, z est égal à x. On a bien un chiffrement asymétrique car la clef de chiffrement (ici e et n) est différente de la clef de déchiffrement (ici d et n). Bien sur cela ne peut fonctionner que si les nombres ont des propriétés entre eux: à partir de p et q deux nombres premiers secrets, on obtient n = p x q (partie de la clef publique) et f = (p-1)x(q-1). On choisit alors e (partie de la clef publique) comme étant premier avec f et on calcule d (clef privée) comme étant l’inverse de e mod f (e x d = 1 mod f).
pourquoi: on construit avec l’opération modulo l’ensemble des classes du groupe quotient de (Z,+) par son sous-groupe pZ engendré par un entier p, noté Z/pZ : ses éléments sont les entiers non divisibles par p, considérés modulo p, deux éléments étant considérés comme équivalents lorsque leur différence est un multiple de p. Lorsque p est un nombre premier, Z/pZ muni cette fois de la multiplication (et privé de zéro), est un groupe (loi de composition interne, associativité, élément neutre, symétrie).
On voit dans cet exemple de chiffrement que les nombres premiers, nombres magiques par excellence (car aucune formule ne permet à ce jour de calculer le nième d’entre eux), ont fourni par leur propriétés fondamentales des applications étonnantes en utilisant la fonction modulo.
Cette figure animée dans une page WEB par Javascript qui m’a été inspirée par monsieur Mickaël Launay dans sa vidéo YouTube « La face cachée des tables de multiplication – Micmaths » illustre ces étonnantes propriétées en révélant par le dessin l’esthétique mathématique qui se cache dans certains nombres (nombres premiers, π, nombre d’euler, nombre d’or, etc …). Ici l’opération modulo est la clef qui permet de faire apparaître les lois « internes » de construction des nombres, et de montrer l’étrange harmonie qui en fait le coeur.
Cliquez-ici pour afficher l’animation le modulo psychédélique
Téléchargez le code source complet:
Modulo psychédélique (animation javascript)
remarque importante: ce script javascript consomme beaucoup de resources CPU (tracé de dizaines de milliers de lignes à l’écran). Parmi tous les navigateurs testés, seul Google Chrome permet d’afficher l’animation avec fluidité. Il semble recourir efficacement à l’accélération matérielle.